Sanırım Kendi Türev Teoremimi Buldum

[yumluanarsist]

Forumdaki sayısalcıların ve varsa Matematikçilerin görüşlerini almak istiyorum.

Türev konusunda, üstel fonksiyonların ve logaritmik fonksiyonların türevini almayı çoğumuz biliriz. Fakat taban da üst de x'e bağlı bir değişken ise önce iki tarafı da ln tabanında almamız ve uzuuunca işlemler yapmamız gerekiyor. Ben kısa yol meraklısı biri olduğumdan bu konuda birkaç gündür bulduğum bir yol üzerinde düşünüyorum. Şimdi olayı 2 örnekle açıklayayım.

Örneğin x'e bağlı trigonometrik bir üstel fonksiyonu ele alalım.

x^sinx

Burada normalde türev alırken şöyle yapıyoruz:

x^sinx = y
lnx^sinx = lny
(sinx.lnx)' = (lny)'
cosx.lnx + (1/x).sinx = y'/y
cosx.lnx + sinx/x = y'/x^sinx
cosx.lnx.x^sinx + sinx.x^sinx/x = y'

Aynısını başka bir örnekle (x^2x) yapmak gerekirse:

x^2x = y
lnx^2x = lny
(2x.lnx)' = (lny)'
2.lnx + (1/x).2x = y'/y
2.lnx + 2 = y'/x^2x
2.lnx.x^2x + 2.x^2x = y'

Ben ise diyorum ki; bu kadar uğraşacağımıza şöyle yapabiliriz: Tabanı da üstü de x'e bağlı bir değişken olan üstel fonksiyonlarda, normal üstel fonksiyon gibi türev alırız; en sonunda fonksiyonun kendisini üstüyle çarpar, tabana böleriz. Bunu da normal üstel fonksiyon kuralıyla bulduğumuz sonuca ekleriz. Şöyle ki, normalde 2^x gibi bir üstel fonksiyonun türevini alırken:

2^x = y
(2^x)' = y'
(2^x).1.ln2 = y'

O zaman x^x'in türevi benim söylediğim yolla:

x^x = y
(x^x)' = y'
(x^x).1.lnx [B]+ [COLOR=Red][(x^x).x]/x[/COLOR][/B]

Başka örnekler vermek gerekirse:

x^tanx = y
(x^tanx)' = y'
(x^tanx)(tan^2x + 1).lnx [B]+ [COLOR=Red][(x^tanx).tanx]/x[/COLOR][/B]

Onlarca deneme yaptım, hepsinde tutuyor. Sorularda bayağı işime yarıyor. Açıklayıcı olabilmişimdir umarım.

Hocama söylediğimde bana "Boyutçu bırak bu işleri de defter çıkar ve not tut." demişti. (Hocaya 4. boyutla ilgili sorduğum sorulardan dolayı adım Boyutçu olarak kaldı. ) Ben de işin ucunu bırakmadım tabi. Sallamasyon gibi duruyor ama tutuyor, ben ne yapayım? Sınavda bana en az 20 saniye kazandırır bu işlem.

Dikkat ederseniz işlem sayısı yarıya düşüyor.

 

[penguin]

(d/dx)a^x = a^x * lnx ... (1)
(d/dx)x^a = ax^(a-1) ... (2)
(1) ve (2) formüllerini, örneğin (d/dx)(sinx)^x ilkelini hesaplamakta kullanamazsın.
Ben sonucu hesaplayım ve sende kendi yönteminle bulmaya çalış ve sonuçları karşılaştır.
lny = ln[(sinx)^x]
lny = xln(sinx)
(1/y)(dy/dx) = x(cosx/sinx) + ln(sinx)(1)
(dy/dx) = y(xcotx+ln(sinx)) = (sinx)^x(xcotx+ln(sinx))

 

[qKTe]

höhh

 

[ktohan]

Jea bu bulduğun pratik zaten kulanılan birşey

 

[EropaKING]

Birincisi senin bulduğun doğru ise Teorem değil Kısayol'dur
Teorem hepimizi aşacak bir kavram...

İkincisi...Bende Penguin in verdiği örneğin tersini yaptım..Sonucu sen değerlendir istersen..

x^sinx=y

ln y=sinx ln x

1/y *dy/dx=sinx/x+cosxlnx

dy/dx=y[(sinx/x+lnxcosx]

=x^sinx[(sinx/x+lnxcosx]

 

[kaberdey]

bi kontrol etmek gerekir
ama şu anda bir makale yetiştrimeye çalışıyorum
daha sonra bir değerlendirme yapabiliriz.

ama genelleme yapabilmek için çok erken gibi görünüyor.

 

[mustang]

Bunları lisede kafamıza sokmuşlardı zorda olsa ama şu anda inanın ilk defa görüyor gibi oldum yav

 

[yumluanarsist]

@penguin, senin dediğin benim yöntemle şu sonucu veriyor:

sinx^x = y
(sinx^x)' = y'
(sinx^x).1.lnsinx [COLOR=Red][B]+ [(sinx^x).x]/sinx[/B][COLOR=Black] = y'

Benim bulduğum sonuç: [/COLOR][/COLOR](sinx^x).lnsinx + [(sinx^x).x]/sinx
Senin bulduğun sonuç: (sinx)^x(xcotx+ln(sinx))

Hımm, bir yanlışlık var. Bir de normal türevle yapayım:

sinx^x = y
lnsinx^x = lny
(x.lnsinx)' = (lny)'
1.lnsinx + (cosx/sinx).x = y'/y
lnsinx + x.(cotx) = y'/sinx^x
(lnsinx).(sinx^x) + x(cotx).sinx^x = y'

Benim teorem de burada patlıyoor.

Ama tabanı x olanlarda hala geçerli.

@kaberdey, bir ara bakarsan sevinirim.


---------- saat 22:44 eklendi ---------- önceki mesaj saat 22:40 eklenmişti ----------

Birincisi senin bulduğun doğru ise Teorem değil Kısayol'dur
Teorem hepimizi aşacak bir kavram...

İkincisi...Bende Penguin in verdiği örneğin tersini yaptım..Sonucu sen değerlendir istersen..

x^sinx=y

ln y=sinx ln x

1/y *dy/dx=sinx/x+cosxlnx

dy/dx=y[(sinx/x+lnxcosx]

=x^sinx[(sinx/x+lnxcosx]

Benim sonucumla da şu çıkıyor: cosx.lnx.x^sinx + sinx.x^sinx/x

Senin işlemde bir hata var sanırım?

---------- saat 22:45 eklendi ---------- önceki mesaj saat 22:44 eklenmişti ----------

Jea bu bulduğun pratik zaten kulanılan birşey

Hocam öyle bir şeyin olmadığını söylemişti de.

 

[unknownrealmman]

Ben de şunu merak ediyorum, türev integral denklemleri gerçek hayatta hangi alanlarda kullanılıyor?

 

[aykut5855]

Belkide senin bulduğun sadece taban "polinom" şeklinde bir fonksiyon ise işe yarar...bunun bir teorem olm şansı yok fakat dediğin gibi tabanı polinom olanlarda oluyorsa test sınavlarında kullan...Ama klasik yazılı sınavlarda yapma...
(Teorem oluşturmak için deneme yanılma yöntemiyle değil genel bir şekilde ispatta bulunmalısın ayrıca hipotezinde şartları belirlemelisin.)

 

[ugurhanuslu]

bu ne be ama eğer gerçekten bulduysan ve bunu biraz kontrol et herzaman uyuyormu falan diye birde kaberdey baksın sora koş patent al

 

[ktohan]

Jea bu sadece a £ R ve x bir değişken iken(a^x gibi...) geçerli,Yani üstel fonksiyonda kullanabilirsin.Ama bulunmuş birşey değil.Dediğim gibi varolan birşey.

 

[penguin]

Benim sonucumla da şu çıkıyor: cosx.lnx.x^sinx + sinx.x^sinx/x

Senin işlemde bir hata var sanırım?

x^sinx.(sinx/x+lnx.cosx) = (x^sinx.sinx)/x + x^sinx.lnx.cosx
x^sinx ifadesini dağıtırsan sonuçlar aynı.

 

[aykut5855]

Ben de şunu merak ediyorum, türev integral denklemleri gerçek hayatta hangi alanlarda kullanılıyor?

Pek çok kullanım alanları mevcut ama manuel olarak hesaplamalarla değilde genelde artık bilgisayar sistemli hesaplamalar şeklinde hayatımızda yer bulmaktadırlar.
Aklıma gelenler şu an için türev maksimum ve minimum değerler bulmada integraller ise hacim alan yüzey alanı vs gibi hesaplamalarda kullanılır..Fakat bunları 3 boyutlu şekilde hesaplamak zordur.Lise müfredatında bu konular yoktur.

 

[penguin]

Ben de şunu merak ediyorum, türev integral denklemleri gerçek hayatta hangi alanlarda kullanılıyor?

Olasılık hesaplarında, istatistiksel dağılımlarda, örneklem hesaplamalarında, yapı inşaasında maksimum ve minimum momentlerin neler olduğunu hesaplamada, uzay ve havacılıkta, farmakoloji de ilaç yan etkilerinin ne olduğunun belirlenmesinde vs... bir çok kullanım alanı var.

 

[yumluanarsist]

Yahu teorem derken ciddi değildim zaten. Manyak mıyım, ne teoremi?

Hem ben alışığım böyle şeylere. Bir sürü böyle bulgum var.

Ayrıca anladığım kadarıyla tabanı trigonometrik olan üstel fonksiyonlarda yemiyor bu.

ktohan, bilinen bir şey diyorsun da, nerede biliniyor? Kitaplarda yazıyor mu?

 

[spybot]

Hiç bişey anlamadım bu işten.

 

[ktohan]

Yahu teorem derken ciddi değildim zaten. Manyak mıyım, ne teoremi?

Hem ben alışığım böyle şeylere. Bir sürü böyle bulgum var.

Ayrıca anladığım kadarıyla tabanı trigonometrik olan üstel fonksiyonlarda yemiyor bu.

ktohan, bilinen bir şey diyorsun da, nerede biliniyor? Kitaplarda yazıyor mu?

Kitaplara sen bakıver benden geçti bilemeyecem de fakülte defterimde yazıyor jea.Bizim analiz hocası vermişti.

 

[gezegen]

vah vah demek zamane gençlerinin beyinleri böyle yıkanıyor :w00t:

 

[yumluanarsist]

Kitaplara sen bakıver benden geçti bilemeyecem de fakülte defterimde yazıyor jea.Bizim analiz hocası vermişti.

Lise öğrencisiyim. Üniversitede öğretiliyorsa yanlış bir şey bulmadım demektir.

 

[Vendetta_]

Teorem buldum diyince bizim hocanın bize sürekli söylemiş olduğu söz aklıma geldi
Ne
A
Haş
! (ünlem)
daha sonra baktım zaten konuya teorem değil kısa yolmuş

 

[EropaKING]

Teorem buldum diyince bizim hocanın bize sürekli söylemiş olduğu söz aklıma geldi
Ne
A
Haş
! (ünlem)
daha sonra baktım zaten konuya teorem değil kısa yolmuş

Zaten bu tarz yaklaşımlar sergileyen hocalardan korkacaksın..Hiç bi halta yaramadıkları gibi milletin hevesini kırmakta birebirdirler..

Bakın bakalım üniversitelerimize bir tane makale yazmaya çalışan bir akademisyen görebilecek misiniz..

Arada çok şükür birkaç tane çıkıyor..Onlarda yönetimin teferruatlarıyla uğraşmaktan kafayı yiyecek gibi oluyorlar..


Bu arada konuyu açan arkadaşmız, benim çözümde bir hata var demiş ama..Bana pek hata yok gibi geldi..Zaten yine Penguin arkadaşımız bir hata olmadığını göstermiş..

Ayrıca bulduğun kısayolunun nerede işlemediğini bulman iyi olmuş. Böyle sınavlarda hataya düşmezsin.

Bir matematikçi olarak burada böyle bir konunun açılması hoşuma gitti..

Son olarak bir şey ekleyeyim..Türev ve Integral beyin yıkamak için öğretilmiyor..Bugün oturduğunuz evlerin yapımından, ağzınız açık seyrettiğiniz o şaaşalı binalara, kullandığınız arabaların tasarımından, güvenliğinizle ilgili bir çok üründe bu işlemler kullanılıyor.

Birşeyleri hafife alırken biraz daha dikkat etmeliyiz diye düşünüyorum...Hele ki bu terimler MATEMATİK ile ilgiliyse

Unutmayın Google ın mucitleri birer MATEMATİKÇİ...

Hepinize kolay gelsin..

 

[yumluanarsist]

EropaKING, Matematik öğretmeni misin?

 

[EropaKING]

Yok değilim..Ama Matematiği çok seviyorum
Lisansta Matematikçiydim..Gerçi bana kalırsa hâlâ öyleyim

Ama şu anda Bilgisayar Mühendisliğinde Yüksek Lisans yapıyorum ve tez için 3-4 yıldır uğraş uğraş kafayı yemek üzereyim

Senin de matematikle bu kadar ilgilenmen çok güzel..